Finite periodic data rigidity for two-dimensional area-preserving Anosov diffeomorphisms

Abstract

<p> Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f comma g"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f,g</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C squared"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> area-preserving Anosov diffeomorphisms on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper T squared"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {T}^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> which are topologically conjugate by a homeomorphism <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h"> <mml:semantics> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ( <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h f equals g h"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">hf=gh</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ). We assume that the Jacobian periodic data of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f"> <mml:semantics> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="g"> <mml:semantics> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">g</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are matched by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h"> <mml:semantics> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for all points of some large period <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N element-of double-struck upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N\in \mathbb {N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We show that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f"> <mml:semantics> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="g"> <mml:semantics> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">g</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are “approximately smoothly conjugate.” That is, there exists a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Superscript 1 plus alpha"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi> α </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C^{1+\alpha }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> diffeomorphism <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h overbar Subscript upper N"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo accent="false"> ¯ </mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\overline {h}_N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h"> <mml:semantics> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h overbar Subscript upper N"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo accent="false"> ¯ </mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\overline {h}_N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are <inline-formula content-type="math/mathml