Probability estimates related to Korobov’s number-theoretical quadrature formulas
<p> Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a 1 comma ellipsis comma a Subscript s Baseline"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a_1, \dots , a_s</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be integers and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N"> <mml:semantics> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a positive integer. Korobov (1959) and Hlawka (1962) proposed to use the points <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline equals left-parenthesis left-brace a 1 k slash upper N right-brace comma ellipsis comma left-brace a 1 k slash upper N right-brace right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x^{(k)} = (\{a_1 k/N\}, \dots , \{a_1 k/N\})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k=1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , …, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N"> <mml:semantics> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , as nodes of multidimensional quadrature formulas. The paper presents some new probability estimates related to the discrepancy of the sequence <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K Subscript upper N Baseline left-parenthesis a right-parenthesis equals StartSet x Superscript left-parenthesis 1 right-parenthesis Baseline comma ellipsis comma x Superscript left-parenthesis upper N right-parenthesis Baseline EndSet"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K_N(a)=\{x^{(1)},\dots , x^{(N)}\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and the error of the Korobov–Hlawka number-theoretical quadrature formulas. </p>